高1スタンダードレベル数学ⅠAⅡB

軌跡

例題

 

(1) 実数の値が変化するとき,放物線の頂点Pの軌跡を求めよ.

(2) が実数のとき,円の中心Pの軌跡を求めよ.

    放物線と円の式と、その特徴を押さえておきましょう。

・放物線     の頂点の座標は

・円         の中心の座標は 、半径は

軌跡を求める場合は、求める点の座標を求め,それをとおきます。

   これにより  を媒介変数の式で表します。

(1) の頂点Pの軌跡を求めよ。

これは下向きに凸の放物線で、頂点であるx=aで最小値をとり、>
そのときであることがわかります。

よって頂点の座標は P

よって頂点Pの座標をPとおくと

・・・・・・①       ・・・・・・②

①より これを②に代入して

よって求める点Pの軌跡は  放物線  である。

 

(2) の中心Pの軌跡を求めよ。

中心の座標はP

よって中心Pの座標をPとおくと

・・・・・・①       ・・・・・・②

①より これを②に代入して、

よって求める点Pの軌跡は  直線  である。

(1) の頂点Pの軌跡を求めます

与式を  の式の形に変形します。

これは下向きに凸の放物線で、頂点でで最小値をとり、
そのときであることがわかります。
よって頂点の座標は
Pとなります。

ここで、頂点Pの座標をPとおくと

・・・・・・①       ・・・・・・②

(この場合、2つの式で1つの図形を表しており、2つの式を結びつけるは媒介変数、またはパラメータと呼びます。)

の式で表すと①より となり、これを②に代入して

よって求める点Pの軌跡は  放物線   となります。

 

(2) の中心Pの軌跡を求めます。

与式を円の方程式  の形に変形します。

   円ならば右辺は半径の二乗なので0より大きな値になるはずです。

右辺の平方完成をすると、

 となり、円の条件を満たします。

よって中心の座標はPになります。

上で求めた中心Pの座標をPとおくと、は次のように表現できます。

・・・・・・①       ・・・・・・②

変化する値(媒介変数)の変数として表すと①より となり、

これを②に代入して整理すると、 となります。

よって求める点Pの軌跡  直線  が求まりました。

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