高1スタンダードレベル数学ⅠAⅡB

微分

例題

次の関数の増減を調べ,グラフをかけ。また,極値を求めよ。

(1)  

(2)  

①関数を微分して,導関数を求めよう。

 ・公式

②導関数の値が 0 になるときをヒントに,符号の変化を考えよう。

③増減表を作り,極値を求めよう。

 ・極値をとるとき ( 導関数 )=0 であっても,

( 導関数 )=0 のとき必ず極値をとる,というわけではないことに注意しよう。

④増減に注意して,グラフをかこう。

 ・導関数が正…右上がり,導関数が負…右下がり

 ・極値と 切片の値は確実に。

(1)   より,

のとき

増減表は下のようになる。

1

1

+

0

0

+

3

1

で極大値 3 で極小値- 1 をとる。

 

(2)   より,

のとき

増減表は下のようになる。

2

0

1

常に なので は単調に減少し,極値はない。

(1)  まずは与えられた関数を微分して導関数を求め,その符号を調べます。

この際,導関数に因数分解や解の公式を用いて となる点を求めます。

を用いて微分すると

となるので,

のとき

ここで, のグラフは下のようになります。

のとき であり, のとき であることになります。

ここから,増減表の 2 段目までができます。

1

1

+

0

0

+

 

 

 

 

 

は接線の傾きを表すので,

であれば接線の傾きが正で,この関数が右上がりになっていることを表し,

であれば接線の傾きが負で,この関数が右下がりになっていることを表します。

また, を代入すると を代入すると になるので,増減表が埋まります。

1

1

+

0

0

+

3

1

右上がりの矢印は増加,右下がりの矢印は減少と書いてもかまいません。

ここで, の両側を見ると, の変化が増加から減少に切り替わっています。

このような増加と減少の切り替わるポイントを極値と言います。

増加から減少に切り替わるときの の値を極大値,

減少から増加に切り替わるときの の値を極小値と呼びます。

この問題では のとき のとき になっているので,

で極大値 3 で極小値- 1 をとる。

と表します。

最後に,これらを元にグラフをかきます。↗で表した部分は右上がりに,↘で表した部分は

右下がりになるようにかいていきます。極値の座標を通ることと, のときの の値,

つまり 切片の値がどのようになっているかに注意しましょう。

また, となる点の周囲では傾きが緩やかになることを意識すると正確なグラフに近づきます。

 

(2)  やはり,まずは導関数を求めます。

より,

ここで, の符号を考えると, のとき であり,

それ以外では となっています。

2

0

1

のとき ではあるのですが,この前後では の符号が変化していないため

は極値ではないことになります。

導関数が 0 になる点があっても,そこが極値になっているとは限らない,ということに

注意してください。

また,この関数では常に となっており, は減少し続けることになります。

このような状態を, は単調に減少する,と言います。

逆に,常に の場合は単調に増加する,と言います。

単調に増加,あるいは減少する場合,関数に極値はありません。

この関数のグラフは,単調に減少するので全体に右下がりのグラフになりますが,

やはり となる の周辺では傾きが緩やかになります。

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