高1スタンダードレベル数学ⅠAⅡB

積分 公式

例題

(1) 等式     を証明せよ。

(2) 曲線 軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

    軸の下側の面積は、 軸で反転させて、 軸の上側の面積として求めよう。

よく使う式は公式として覚えておこう。

公式  

(1) を示す。

(2) 曲線 軸で囲まれる部分の面積。

 とおく。

(1) を示します。

右辺の を分配します。

1で学習したように   なので、

これを整理すると

 となり証明できました。

 

(2)

曲線 軸で囲まれる部分の面積。

求める部分は右図の斜線部   になります。

ここでは  を 軸について反転さ

せた 軸で囲まれる部分   

の面積が、求める箇所の面積と同じだと考えて計

算します。

まず、 より、

2 次方程式  ( ) の解の公式

を使って の値を求めると、

  となります。ここで計算を簡単にするために、

  とおきます。

から までの定積分の値を求めます。

2 つの解が なので、

(1) で証明した公式をここで利用します。

 となり、面積が求められました。

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