【数学の証明問題】 解き方のコツ・公式

高1スタンダードレベル数学ⅠAⅡB

証明

例題

次の不等式が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。

(1)                  (2)

  不等式 の証明では、

(大きい値-小さい値)を計算して であることを示します。

  平方を完成させて、その部分が0以上であることを使って証明します。

  解答の最初に、これから証明しようとする不等式」を書く必要はありません。書くときは解答例で示したように式の後に「を示す」「を証明する」という言葉を入れるようにしましょう。単に式だけを書くと、いきなり式が成り立っている、ということになってしまいます。

(1)を示す。

よって

等号成立はのとき。

(2) を示す。

よって

二乗のところを作り(平方完成)、その部分が0以上であることを利用して証明します。

(1) を証明します。ここでは(左辺)(右辺)を計算して、平方完成を行います。

となり二乗の式(この場合は完全平方式)になりました。二乗の形をつくることで0以上であることを示すことができるので、であることがわかります。

よって、

であることが証明できました。

等号が成り立つのは二乗のカッコの中が0のときなので、

等号は のときに成立します。

 

(2) を証明します。ここでは右辺が0なので、左辺だけを計算して平方を完成(変数を二乗のカッコ内にまとめる)させます。

ここでであるのでになります。

よってであることが証明できました。

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