【数学の確率問題】 解き方のコツ・公式

高1スタンダードレベル数学ⅠAⅡB

確率

例題

次の確率を求めよ。
(1) 3つのさいころを同時に投げるとき,目の和が5になる確率。
(2) HAKATAの6文字を1列に並べるとき,母音と子音が交互に並ぶ確率。

n(A): Aの場合の数
n(U):Uの場合の数
P(A)=n(A)/n(U) 

①起こりうる全ての場合の数の集合をU、確率を求めたい場合の数の集合をAとすると

Aの起こる確率は次のように表せます。


                                                        

確率を求めるにあたって、場合の数を数えるとき、抜けが無いようにするため、組合せで考えて場合を書き出し(昇順または降順で書き出す)、順列の計算を行います。

③確率を計算するときは、同じものも全て区別する必要があります

    Aが3つある場合にはA1A2A3のように分けます。

(1) 3つのさいころを同時に投げるとき,目の和が5になる確率

3つのサイコロの出目  63通り。

目の和が5になるのは

組合せ (1, 1, 3)のとき 順列通り。

組合せ (1, 2, 2)のとき 順列通り。

(通り)

 

(2) HAKATA6文字を1列に並べるとき,母音と子音が交互に並ぶ確率

3つのAの文字をA1A2A3とする

6文字の順列 ⇒ 6!通り

母音 A1A2A3

子音 H K T

交互 母子母子母子 or 子母子母子母

(1) 3つのさいころを同時に投げるとき,目の和が5になる確率を求めます。

起こりうる全ての場合である3つのサイコロの出目の場合の数は63通り。

次に、確率を求めたい場合である目の和が5になる場合を計算します。

組合せ(小→大の順番で書き出す)で全ての場合を書き出し、その後に順列を計算します。

最初の数が1のとき目の和が5になるのは、(1, 1, 3)(1, 1, 3)2通りです。

最初の数が2のとき、合計が一番小さくなるのは(2, 2, 2)の組み合わせですが、これでは問題の条件である5より大きなってしまいます。よって、条件を満足するのは、最初の数が1である2つの場合だけであることがわかります。

このときの順列を計算すると

・組合せ (1, 1, 3)のとき、順列は通り。

・組合せ (1, 1, 3)のとき、順列は通り。

(順列を計算するとき、3つの数字のうち2つは同じ数字の為で割っています。)

よって起こりうる場合の数は (通り)となり、全体が63通りであることから

となります。

(2) HAKATA6文字を1列に並べるとき、母音と子音が交互に並ぶ確率を求めます。

まず、起こりうる全ての場合の数を数えるため3つの母音のAをすべて区別するためA1A2A3とすると、6文字の順列は、6!通りになります。

次に、確率を求めたい場合を数えます。

ここで、母音と子音はそれぞれ次のようになっています。

母音:A1  A2  A3                 子音:H  K  T

また母音と子音が交互に並ぶのは次の2つの場合です。

   母音が先に来る場合「母子母子母子」

   子音が先に来る場合「子母子母子母」

それぞれの順列を計算すると

①の場合:母音の順列 通り

:子音の順列 通り

となり①の場合の順列は通り・・・・・・③

②の場合:子音の順列 通り

:母音の順列 通り

となり②の場合の順列は通り・・・・・・④

場合の数は③,④の結果を足して (通り)となります。

よって求める確率は

となります。

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