
高1スタンダードレベル数学ⅠAⅡB
確率

例題
次の確率を求めよ。
(1) 3つのさいころを同時に投げるとき,目の和が5になる確率。
(2) HAKATAの6文字を1列に並べるとき,母音と子音が交互に並ぶ確率。
①起こりうる全ての場合の数の集合をU、確率を求めたい場合の数の集合をAとすると
Aの起こる確率は次のように表せます。
②確率を求めるにあたって、場合の数を数えるとき、抜けが無いようにするため、組合せで考えて場合を書き出し(昇順または降順で書き出す)、順列の計算を行います。
③確率を計算するときは、同じものも全て区別する必要があります
例 Aが3つある場合にはA1,A2,A3のように分けます。
(1) 3つのさいころを同時に投げるとき,目の和が5になる確率
3つのサイコロの出目 → 63通り。
目の和が5になるのは
組合せ (1, 1, 3)のとき 順列通り。
組合せ (1, 2, 2)のとき 順列通り。
⇒(通り)
(2) HAKATAの6文字を1列に並べるとき,母音と子音が交互に並ぶ確率
3つのAの文字をA1,A2,A3とする
6文字の順列 ⇒ 6!通り
母音 A1,A2,A3
子音 H K T
交互 母子母子母子 or 子母子母子母
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いかがでしたか?
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(1) 3つのさいころを同時に投げるとき,目の和が5になる確率を求めます。
起こりうる全ての場合である3つのサイコロの出目の場合の数は63通り。
次に、確率を求めたい場合である目の和が5になる場合を計算します。
組合せ(小→大の順番で書き出す)で全ての場合を書き出し、その後に順列を計算します。
最初の数が1のとき目の和が5になるのは、(1, 1, 3)、(1, 1, 3)の2通りです。
最初の数が2のとき、合計が一番小さくなるのは(2, 2, 2)の組み合わせですが、これでは問題の条件である5より大きなってしまいます。よって、条件を満足するのは、最初の数が1である2つの場合だけであることがわかります。
このときの順列を計算すると
・組合せ (1, 1, 3)のとき、順列は
通り。
・組合せ (1, 1, 3)のとき、順列は
通り。
(順列を計算するとき、3つの数字のうち2つは同じ数字の為
で割っています。)
よって起こりうる場合の数は
(通り)となり、全体が63通りであることから
となります。
(2) HAKATAの6文字を1列に並べるとき、母音と子音が交互に並ぶ確率を求めます。
まず、起こりうる全ての場合の数を数えるため、3つの母音のAをすべて区別するためA1,A2,A3とすると、6文字の順列は、6!通りになります。
次に、確率を求めたい場合を数えます。
ここで、母音と子音はそれぞれ次のようになっています。
母音:A1 A2 A3 子音:H K T
また母音と子音が交互に並ぶのは次の2つの場合です。
① 母音が先に来る場合「母子母子母子」
② 子音が先に来る場合「子母子母子母」
それぞれの順列を計算すると
①の場合:母音の順列
通り
:子音の順列
通り
となり①の場合の順列は
通り・・・・・・③
②の場合:子音の順列
通り
:母音の順列
通り
となり②の場合の順列は
通り・・・・・・④
場合の数は③,④の結果を足して
(通り)となります。
よって求める確率は
となります。