高1スタンダードレベル数学ⅠAⅡB
確率
例題
次の確率を求めよ。
(1) 3つのさいころを同時に投げるとき，目の和が5になる確率。
(2) HAKATAの6文字を1列に並べるとき，母音と子音が交互に並ぶ確率。
①起こりうる全ての場合の数の集合をＵ、確率を求めたい場合の数の集合をAとすると
Aの起こる確率
は次のように表せます。
②確率を求めるにあたって、場合の数を数えるとき、抜けが無いようにするため、組合せで考えて場合を書き出し（昇順または降順で書き出す）、順列の計算を行います。
③確率を計算するときは、同じものも全て区別する必要があります
例 Aが３つある場合にはA1，A2，A3のように分けます。
(1) 3つのさいころを同時に投げるとき，目の和が5になる確率
3つのサイコロの出目 → 63通り。
目の和が5になるのは
組合せ (1, 1, 3)のとき 順列
通り。
組合せ (1, 2, 2)のとき 順列通り。
⇒
(通り)
(2) HAKATAの6文字を1列に並べるとき，母音と子音が交互に並ぶ確率
3つのＡの文字をA1，A2，A3とする
6文字の順列 ⇒ 6!通り
母音 A1，A2，A3
子音 Ｈ Ｋ Ｔ
交互 母子母子母子 or 子母子母子母
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いかがでしたか？
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(１) 3つのさいころを同時に投げるとき，目の和が5になる確率を求めます。
起こりうる全ての場合である3つのサイコロの出目の場合の数は63通り。
次に、確率を求めたい場合である目の和が5になる場合を計算します。
組合せ（小→大の順番で書き出す）で全ての場合を書き出し、その後に順列を計算します。
最初の数が1のとき目の和が5になるのは、(1, 1, 3)、(1, 1, 3)の2通りです。
最初の数が2のとき、合計が一番小さくなるのは(2, 2, 2)の組み合わせですが、これでは問題の条件である5より大きなってしまいます。よって、条件を満足するのは、最初の数が1である2つの場合だけであることがわかります。
このときの順列を計算すると
・組合せ (1, 1, 3)のとき、順列は
通り。
・組合せ (1, 1, 3)のとき、順列は
通り。
（順列を計算するとき、３つの数字のうち２つは同じ数字の為
で割っています。）
よって起こりうる場合の数は
(通り)となり、全体が63通りであることから
となります。
(2) HAKATAの6文字を1列に並べるとき、母音と子音が交互に並ぶ確率を求めます。
まず、起こりうる全ての場合の数を数えるため、3つの母音のＡをすべて区別するためA1，A2，A3とすると、6文字の順列は、6!通りになります。
次に、確率を求めたい場合を数えます。
ここで、母音と子音はそれぞれ次のようになっています。
母音：A1 A2 A3 子音：Ｈ Ｋ Ｔ
また母音と子音が交互に並ぶのは次の2つの場合です。
① 母音が先に来る場合「母子母子母子」
② 子音が先に来る場合「子母子母子母」
それぞれの順列を計算すると
①の場合：母音の順列
通り
：子音の順列
通り
となり①の場合の順列は
通り･･････③
②の場合：子音の順列
通り
：母音の順列
通り
となり②の場合の順列は
通り･･････④
場合の数は③，④の結果を足して
(通り)となります。
よって求める確率は
となります。