【数学の整数問題問題】 解き方のコツ・公式

高1スタンダードレベル数学ⅠAⅡB

整数問題

例題

次の等式を満たす整数 の組をすべて求めよ。

(1)  

① 特殊解を求めよう
② 特殊解を代入した式を引いて,=0の形を作ろう
③ 互いに素であることを利用して,X.Yの組を他の文字を使った式で表そう

······①の整数解の 1 つは,

よって, ······②

①-②より

つまり ······③

4 7 は互いに素より, 7 の倍数。

よって と表せる。

このとき③より

つまり

したがって①の解は

まずは 1 つ解を見つけることから始まります。

の係数がある程度大きい数の場合はユークリッドの互除法を用いるなどの工夫が

必要ですが,この問題では

とすると,

となり,どちらも 1 桁なので簡単に見つかります。

このように,代入すると等式が成り立つ,という方法で求めた 1 つの解は

特殊解と呼ばれます。

次に,ここで得られた特殊解を使って 2 つの文字の関係を分かりやすくします。

を元の式に代入すると,

から を引くと,

つまり

このように,特殊解を代入した式を引くことで右辺の 1 が消去でき,

整数× ( を含む項 )= 整数× ( を含む項 ) の形を導くことができます。

ここで,整数解を求める問題なので が整数である場合を考えると,

4 7 は互いに素なので, 7 の倍数に, 4 の倍数になっていなければ

ならないことになります。

まず, 7 の倍数であることから,整数 を用いて

と表せます。整理して,

他の文字 ( 今回の場合は整数 ) を用いて表すことで,一般解が求められます。

に代入して,

よって,求める解は

一般解として求められた式を代入することで,もう一方の解も求められます。

すべての整数解を求める問題でしたが,

解が無限個存在するため他の文字を用いた式で表すことになります。

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