高1スタンダードレベル数学ⅠAⅡB
積分
例題
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積
を求めよ。
(1)
(2)
①グラフをかいて，面積を求める図形と関数の上下を掴もう。
②式を連立させて解き，
交点の
座標を求めよう。
③放物線同士の場合， 2 つのグラフの左右にも注目しよう。
(1)
と
の交点の
座標は
つまり
の
2
解。
これを解いて
よって図より
(2)
と
の交点の
座標は
つまり
の
2
解。
これを解いて
よって図より
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(1) 積分で面積を求めるうえで，重要なのは関数の上下と 交点の
座標の
2
つです。
まずはグラフをかいて面積を求める図形と， 2 つの関数でどちらが上に位置するかを把握しましょう。
面積を求めるのは灰色の部分ということがわかります。ここでは
が
の
上に位置しているので，面積の公式
の
に
が，
に
が
それぞれ対応することになります。
次に， 交点の
座標を求めます。これは
2
つの関数の式を連立方程式として解くことで得られます。
交点の
座標は
の
2
解。
これを解いて
－ 1 から 2 までの範囲での定積分を求めればよいことがわかりました。
先の公式の
に－
1
，
に
2
を代入することになります。
以上より，求める面積
は
となります。途中の
は，マイナスをくくり出して
と変形してから解くことも可能です。
(2) (1) は曲線と直線の囲む面積でしたが，こちらは 2 つの放物線が囲む面積です。
この場合は， 2 つの放物線の軸を求めることで求める面積が考えやすくなります。
よって，面積を求める図形は図の灰色の部分であり，この部分では
が
あとは (1) と同様に， 交点の
座標を求めて積分を行います。
これを解いて
よって 求める面積
は
途中，
をそのまま積分して解きましたが，やはり
くくり出してから積分することもできます。答えは変わらないので，解きやすい方法を
取りましょう。