【数学の積分問題】 解き方のコツ・公式

高1スタンダードレベル数学ⅠAⅡB

積分

例題

次の曲線や直線で囲まれた図形の面積 を求めよ。

(1)  

(2)  

①グラフをかいて,面積を求める図形と関数の上下を掴もう。

②式を連立させて解き, 交点の 座標を求めよう。

③放物線同士の場合, 2 つのグラフの左右にも注目しよう。

(1)   の交点の 座標は つまり 2 解。

これを解いて

よって図より

 

(2)   の交点の 座標は

つまり 2 解。

これを解いて

よって図より

(1)  積分で面積を求めるうえで,重要なのは関数の上下と 交点の 座標の 2 つです。

まずはグラフをかいて面積を求める図形と, 2 つの関数でどちらが上に位置するかを把握しましょう。

面積を求めるのは灰色の部分ということがわかります。ここでは

上に位置しているので,面積の公式 が,

それぞれ対応することになります。

次に, 交点の 座標を求めます。これは 2 つの関数の式を連立方程式として解くことで得られます。

交点の 座標は 2 解。

これを解いて

1 から 2 までの範囲での定積分を求めればよいことがわかりました。

先の公式の に- 1 2 を代入することになります。

以上より,求める面積

となります。途中の は,マイナスをくくり出して

と変形してから解くことも可能です。

 

(2)   (1) は曲線と直線の囲む面積でしたが,こちらは 2 つの放物線が囲む面積です。

この場合は, 2 つの放物線の軸を求めることで求める面積が考えやすくなります。

より, の軸は

より, の軸は となります。

よって,面積を求める図形は図の灰色の部分であり,この部分では

の上に位置していることがわかります。

あとは (1) と同様に, 交点の 座標を求めて積分を行います。

の交点の 座標は

つまり 2 解。

これを解いて

よって 求める面積

途中, をそのまま積分して解きましたが,やはり

のように,共通因数を積分記号の前に

くくり出してから積分することもできます。答えは変わらないので,解きやすい方法を

取りましょう。

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