【数学の円問題】 解き方のコツ・公式

高1スタンダードレベル数学ⅠAⅡB

例題

(1)     上の点   における接線の方程式を求めよ。

(2)     から   に引いた接線の方程式を求めよ。

① 基本公式を確認しよう。

     上の点    における接線は、  

   この公式は、説明なく使ってよい「公式」です。

② 次の点に注意しよう。

  ・円周上の点における接線の方程式は、①の公式で処理できます。

  ・円の外部から引いた接線に関しては、接するということから、次の事項は基本です。

    ・円の方程式と直線の方程式を連立させた 2 次方程式が重解をもつ→判別式 D 0     

   どちらを用いるかは問題によって異なりますから、両方とも使えるようにしておきましょう。

(1)   公式より     

(2)   を通り、 軸に垂直な直線   は、

  の接線である。

   IMG_20150902_0001_NEW3.jpg

  を通るもう 1本の接線は    ……①

  つまり   とおける。

  この直線と円の中心   との距離が半径 2と等しければよい。

   両辺を 2乗して          よって    

     以上より求める接線の方程式は  

(1)     上の点    における接線は、   という公式をすぐに

用いて答のみでいいでしょう。

 求める接線は、  

IMG_20150902_0001_NEW2.jpg

(2)  図を書いてみると、接線が 2本存在することが分かりますね。そのうちの 1本は、

  を通り 軸に平行ですから、直線    と分かります。

   IMG_20150902_0001_NEW3.jpg

    他の 1本の接線は  を通るので、傾きを とすると、

            つまり     と表されます。

  この直線が、円   と接するためには、

直線と円の中心   との距離=半径

  となればよいことになります。したがって、

  両辺 0以上ですから、平方して

               

  これから    

  したがって、接線は      となります。

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