【数学の必要十分条件問題】 解き方のコツ・公式

高1スタンダードレベル数学ⅠAⅡB

必要十分条件

例題

次の条件 は条件 であるための何条件であるか。最も適するものを ()()から選べ。ただし、 は実数とする。

(1)          

(2) ABC が直角三角形        

(3)         のうち少なくとも1つは 0

(4)       

( ) 必要十分条件である         ()必要条件であるが十分条件ではない

 ( ) 十分条件であるが必要条件ではない  ()必要条件でも十分条件でもない

① 必要条件、十分条件、必要十分条件の意味をしっかり理解しよう。

・  が真のとき

       ( であるため )の十分条件

    が真のとき

        ( であるため )の必要条件

    のとき ( は同値 )

        ( であるため )の必要十分条件

②  の真偽を調べるとき集合の包含関係を利用するときもあります

③ 命題が偽であるような例を反例といいます。偽であるときは、反例を 1つ示してお

きましょう。

(1)    よって 

  よって  は真   は偽 (反例  )

  したがって  であるための十分条件であるが必要条件ではない   ()  

(2)   は偽    は真 (反例  )

  したがって  であるための必要条件であるが十分条件ではない   ()

(3)     より   または 

  よって は同値である。したがって  であるための必要十分条件である。 ()

(4)   は偽     は偽

  したがって  であるための必要条件でも十分条件でもない   ()

(1)          

まず命題 次方程式を解きましょう。

       よって 

   したがって次のようになりますね。 

                  

    これから  は真……   は十分条件

   また、 には含まれますが には含まれませんから

       は偽……  は必要条件ではない    ゆえに   ( )

(2)   ABC が直角三角形      

     △ ABC が直角三角形 であっても∠ A 、∠ B 、∠ C のどの角が 90 °かは分かりませ

ん。よって 反例として    が挙げられます。

           は偽……  は十分条件ではない

   ∠ A 90 °であれば、 ABC は必ず直角三角形となりますから、

        は真……  は必要条件              ゆえに   ()

(3)         のうち少なくとも1つは 0

   または のことですから、

       または         のうち少なくとも1つは 0

  として考えましょう。すると、「 または 」と「 のうち少なくとも1つは 0

  は全く同じこと (同値 )ですね。つまり、

                            ゆえに   ()

(4)       

    において   の絶対値をはずすと、

したがって、 を数直線上に表すと次のようになります。

  IMG_20150831_0002_NEW1.jpg

さらに、2つをかさねると次のようになります。

  IMG_20150901_0001_NEW2.jpg

  これから

        は偽 (反例  )

             は偽 (反例  )                  ゆえに   ()

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