高1スタンダードレベル数学ⅠAⅡB
必要十分条件
例題
次の条件
は条件
であるための何条件であるか。最も適するものを
(ア
)～
(エ
)から選べ。ただし、
は実数とする。
(1)
(2)
△
ABC
が直角三角形
(3)
のうち少なくとも１つは
0
(4)
( ア ) 必要十分条件である (イ )必要条件であるが十分条件ではない
( ウ ) 十分条件であるが必要条件ではない (エ )必要条件でも十分条件でもない
① 必要条件、十分条件、必要十分条件の意味をしっかり理解しよう。
・
が真のとき
は
(
であるため
)の十分条件
・
が真のとき
は
(
であるため
)の必要条件
・
のとき
(
は同値
)
は
(
であるため
)の必要十分条件
②
の真偽を調べるとき集合の包含関係を利用するときもあります
③ 命題が偽であるような例を反例といいます。偽であるときは、反例を 1つ示してお
きましょう。
(1)
よって
よって
は真
は偽
(反例
)
したがって
は
であるための十分条件であるが必要条件ではない
(ウ
)
(2)
は偽
は真
(反例
)
したがって
は
であるための必要条件であるが十分条件ではない
(イ
)
(3)
より
または
よって
と
は同値である。したがって
は
であるための必要十分条件である。
(ア
)
(4)
は偽
は偽
したがって
は
であるための必要条件でも十分条件でもない
(エ
)
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いかがでしたか？
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(1)
まず命題
の
２
次方程式を解きましょう。
したがって次のようになりますね。
これから
は真……
は十分条件
また、
は
には含まれますが
には含まれませんから
(2)
△
ABC
が直角三角形
△ ABC が直角三角形 であっても∠ A 、∠ B 、∠ C のどの角が 90 °かは分かりませ
ん。よって 反例として
が挙げられます。
∠ A が 90 °であれば、 △ ABC は必ず直角三角形となりますから、
(3)
のうち少なくとも１つは
0
として考えましょう。すると、｢
または
｣と｢
のうち少なくとも１つは
0｣
は全く同じこと (同値 )ですね。つまり、
(4)
したがって、
を数直線上に表すと次のようになります。
さらに、２つをかさねると次のようになります。
これから