【数学の漸化式問題】 解き方のコツ・公式

高1スタンダードレベル数学ⅠAⅡB

漸化式

例題

次の漸化式で表される数列 の一般項 を求めよ。

(1)

(2)

の解き方       ( の式であることを表す )

   ⇒  の階差数列であることを利用します。

公式 (1) を解くときは次の公式を使いましょう。

の解き方

   ⇒  を用意し引き算をします。            

(1)

の階差数列を とすると

・・・・・・①

のとき

よって①は のときも成立する。

(2)

  ・・・・・・②

        ・・・・・・③

を計算すると 

  ・・・・・・④

②から   となりこれを④に代入すると、

数列 は、初項 公比 4 の等比数列となるので

 

 


ここで、階差数列の一般項は   となります。

ここから 2 つの場合に分けて計算します。

のとき、

ここで の公式を使うと、 となるので、

・・・・・・①

次に のときも①が成立するかどうかを確認します。

よって①は のときも成立することが確認できたので、求める一般項は、

(2)

  ・・・・・・②

ここで が同じ値になると仮定して、

    ・・・・・・③      (これは特性方程式と言われています。)

②-③を求めると、

  ・・・・・・④

また③より   となり、これを④に代入すると、

ここで、数列 というものを考えると、初項 公比 4の等比数列であることがわかるので、

  と表現することができます

求めるのは 数列 の一般項 なので最終的な答えは、

  となります。

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