【数学の接線問題】 解き方のコツ・公式

高1スタンダードレベル数学ⅠAⅡB

接線

例題

(1)  関数 のグラフの接線で、点 を通るものの方程式を求めよ。

(2)  点 から曲線 に引いた接線の方程式を求めよ。

①微分して導関数を求めよう。

②接点が不明なときは,自分で文字を使って表そう。

・接点の 座標を とおくと,接点は

③点 における接線を, を用いて表そう。

 ・傾きが m で点 を通る直線の式は 

③その接線が通る点の条件から, を求めよう。

 ・ 1 つの点から複数の接線が引ける場合が多いことに注意しよう。

(1)   とおくと,

上の点 における接線の方程式は

つまり

この接線が を通るとき

よって,

したがって求める接線の方程式は,①より

のとき

のとき

 

(2)   とおくと,

上の点 における接線の方程式は

つまり

この接線が を通るとき

よって

したがって求める接線の方程式は,①より

のとき

のとき

(1)  まずは微分して導関数を求めます。

とおくと,

この問題では接点の情報がないため,接点の 座標を とおき

( このとき 座標は となります。 )

を用いて接線の方程式を表します。

接線の傾きは, より であり,接点 を通ることから

整理して,

と表されます。

この接線が を通るとすると,上の式が を代入したとき成り立つことになるので,

よって,

となり, の値,つまり接点の 座標が求められます。これらを を用いて表した接線の

方程式①に代入することで,接線の方程式が求められます。

のとき

のとき

 

(2)  出題のされ方が異なっていますが,曲線上にない点を通る接線を求める,

ということは同じですので,解き方は (1) と同じです。

とおくと,

上の点 における接線の方程式は

つまり

このように接点の 座標を とおくことで, を用いて接線の方程式を表すことができました。元の関数が 3 次関数であるため,計算が少し複雑になることに注意しましょう。

この接線が を通るとき

よって

今回は簡単に因数分解ができる形になりましたが,場合によっては組立除法を使う必要があります。

求める接線の方程式は, を①に代入して

のとき

のとき

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