高1スタンダードレベル数学ⅠAⅡB
円順列
例題
(1) 両親と子供 4 人の 6 人が円形のテーブルに向って座るとする。
次のような座り方は何通りあるか。
( ア ) 6 人全体の座り方
( イ ) 両親が隣り合わない座り方
①異なる
n
人
(
n
個
)
を並べる円順列は
で求めよう。
②隣り合わないときは余事象，または間に入れよう。
(1)( ア ) 6 人の円順列の総数より
(
通り
)
( イ ) 両親が隣り合うのは，両親を 1 組とした 5 人の円順列で，両親の座り方が 2! 通りより
(
通り
)
よって両親が隣り合わないのは
(
通り
)
(
別解
)
4
人の子供の円順列より
(
通り
)
両親が隣り合わないのは，子供の間
4
ヵ所中
2
ヵ所に両親が座るときで，
通り
よって
(
通り
)
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いかがでしたか？
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(1)( ア ) 円形のテーブルに座る場合，座る場所の区別がされていなければ
互いの位置関係だけが問題になります。
例として
の
3
人が座る場合を考えると，上の図の
3
通りの座り方は，
どれも
から見て右回りに
の順に座っているので同じ座り方になります。
このようなときには円順列の考え方を用います。
まず，誰でもよいので 1 人の座る位置を固定します。
父親の座る位置を固定すると，残り 5 人の座り方について考えることになります。
すると， 5 人の座り方は父親に対してどのような位置にいるかで順序がつけられるので，
順列を用いて求めることができます。
よって，
(
通り
)
このように，円順列では ( 全体の人数－ 1) の階乗として並び方の総数を求めることができます。
( イ ) 2 人が隣り合わない場合の求め方としては，
① 余事象の考え方を用いる
② 条件のないものを先に並べ，その間に隣り合わないものを入れる
という２つの方法があります。
①の「余事象の考え方」を用いる場合，まずは隣り合う場合の並べ方を求めます。
両親が隣り合うのは，両親を 1 組とした 5 人の円順列で，両親の座り方が 2! 通りより
よって， ( ア ) で求めたすべての座り方から両親が隣り合う座り方を引くことで，
両親が隣り合わないのは
と求められます。これは 3 人以上が隣り合わない場合には使えない方法なので注意しましょう。
②の「条件のないものを先に並べ，その間に隣り合わないものを入れる」場合，
まずは、隣り合わないという条件のない子供 4 人の並べ方から考えます。
これは４人を並べる円順列なので，
(
通り
)
の並べ方が存在します。
次に，両親が隣り合わないためには，子供 4 人の間に 1 人ずつ入ればよいことになります。
4 人が円になって座っている場合，間として選べる場所は 4 ヵ所あるので
そこに 2 人を並べる並べ方は
通り存在します。以上から，並べ方の総数は
となります。こちらは隣り合わない人数が 3 人以上でも使うことのできる考え方です。