山内 恵介

スタディサプリ数学講師

山内 恵介

中学生の
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数学中2 数学の勉強法

山内 恵介

スタディサプリ数学講師
山内 恵介

中学2年生の数学は、中学1年生までに習った算数および数学をベースに、それぞれの分野の内容を深めていく学習です。例えば中学2年生で習う「連立方程式」は、中学1年生の「方程式」をベースにしています。中学1年生の数学は、小学校で習ったことを振り返りながら、そこに「負の数」という新しい概念や、「文字」を使った本格的な計算など、新しい用語や考え方、知識を加えていき、数学のもつ世界観を深めていく学習でした。ところが、中学2年生では、中学1年生までの振り返りはほとんどなく、「中学1年生までの算数・数学がわかっている」ことが前提で進めていきます。「わかっている」という言葉が意味するものは、ただ解けるというだけでなく、用語の意味や解法が正確に「理解できている」ということです。

中学 数学の勉強法・定期テスト対策

例えば、中学1年生で習う「方程式」の「解」が、「方程式を解いてでてきたもの」と思ってしまっていると、「連立方程式」の授業の導入で与えられる「\(x+y=5\) の解」の意味が全くわからない、という状態に陥ってしまいます。そこで中学1年生で扱った方程式\(x+1=5\) の「解\(x=4\) の意味」を中学2年生の教科書でも扱っていれば、中学1年生の内容を思い出し、またはきちんと理解し直して中学2年生の内容に入ることができるのですが、残念ながら中学2年生の教科書はそこまで丁寧に書かれておりません。それを学校の先生が、必要に応じて授業で補う必要があるのですが、そこで学校の先生の「力量」が問われてしまいます。

さらに、この連立方程式の導入部分では「解が1つに決まらない」という、小学校や中学1年生までにはなかった状態が目の前に出てきます。そういった新しい状態で、それがどういう状態で、なぜそういう状態になってしまっているのかを、学校の先生の授業を通じて全力で考え、理解していくことが必要となります。その理解の上で、「連立」方程式の必要性がわかり、それが「納得感」となって数学の力をさらに伸ばしていくこととなります。ただ単に「連立方程式」の解き方がわかることがゴールではなく、その分野の学習全般を通じて理解を進めながら進めること、それこそが、目の前の状態を理解し、それをもとに必要に応じて自分の持っている知識や解法を引き出し、問題を解決していくといった、数学を通じた「応用力」の養成につながっていくのです。

よって、中学2年生における数学の勉強は、

①中学1年生の数学の「正確な理解」
②中学2年生の数学の「深い理解」

が必要です。①の学習が欠けていると、中学2年生以降でそれが欠けている分野の学習が全くわからなくなる危険性があり、②の視点が欠けていると、中学2年生の数学から突然難易度が上がったと感じてしまいます。闇雲にドリルの問題の数をこなしても、数学の力は全く伸びませんし、その傾向は中学2年生からより顕著です。よって、中学1年生時に必要な学習と同じですが、問題を解くやり方を覚えてそれに従って解くだけではなく、理解した上で問題を解き進めること、これが非常に大切です。理解して解くと、自分のやっていることの「意味」がわかり、問題を解くのが楽しくなりますし、忘れにくくなりますよ。

「式の計算」の勉強のコツ!

中学1年生で習った「正負の数」「文字と式」をベースに、文字が入った式の計算やその活用を扱う分野です。文字の種類や個数が増えますので、符号や数字の計算ミスだけでなく文字の部分の計算のミスに注意しなければいけません。その注意点や、文字を使った式の計算でどのような活用ができるのか。それをこの「式の計算」で学んでいきます。では、授業動画をご覧ください。

この分野においては、まずはある式を「項」によって分解します。「項」自体は中学1年生で習っています。例えば「\(2x-1\)」という式は「\(2x\)」と「\(-1\)」という2つの項によってつくられています。中学1年生においては「\((2x-1)-(x+3)\)」のように、計算問題で出題される式の中で扱う文字が1種類でしたので「文字が入った部分」と「数字の部分」に分けて計算する、という感覚でしたが、中学2年生からは「\((2x-y)+(3x-4y)\)」のように扱う文字の種類が増えますので、その1つ1つを「項」として自覚した上で、「文字の部分が同じ」項を「同類項」として定義し、文字の部分が同じもの同士、つまり同類項をまとめる、ということを学習していきます。

中学1年生の「正負の数」「文字と式」における計算ができること、そして新しく出てくる用語の正確な理解とその考え方に基づく計算が必要となります。ここで「やり方さえ覚えれば計算はできる」という考え方は非常に危険です。なぜかというと、その計算をなぜそのように行うのかの理解が薄くなることが、「同じミスを繰り返す」という要因を生むことになるからです。ちゃんと理解した上で、効率的に行う方法が存在する問題はそれに基づいて行う。この「式の計算」の分野からその考え方をしっかりもってやっていくことが、その後の学習の深い理解につながっていきます。その体験を、ぜひ授業動画で行ってください。

この分野の後半では、「証明」のもととなる「式による説明」を扱っていきます。中学1年生の「文字式の利用」では、例えば整数を「\(n\)」という文字を使って表したり、整数\(n\)を使って「偶数」を「\(2n\)」と表すといった「文字を使ってある数を表す」という練習をしました。ここでは、文字式の計算のスキルが上がることで、例えば「2けたの自然数と、その数の一の位の数と十の位の数を入れ替えた数の差が必ず9の倍数になる」ことを「説明」できるようになります。この「説明」においては、単なる計算式を書くだけではなく言葉を用いて説明をしていきます。そこにはなぜそう言えるのかの「理由」なども含まれます。ここでの学習が、「他の人に自分の考え方を説明する力」「他の人の考え方を見て・聞いて理解する力」を養成していきます。そしてここでの練習が、この後に学習する「図形の証明」につながってきます。どのような点に気をつけながら書いていけばよいのか。ぜひ授業動画で学んでいただければと思います。

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式の計算

文字式の利用

「連立方程式」の勉強のコツ!

・ある数量がわからないとき、それを文字を使って等式で表し、それを「方程式」として解くことでその数量を求める、ということを中学1年生の「方程式」で学びました。ここでは、2つの文字をふくむ方程式について考えていきます。方程式を成り立たせる値を方程式の「解」といいます。方程式が「成り立つ」とは、文字に数字を代入すると、左辺と右辺の値が同じになる、ということです。

例えばある2つのわからない数量を \(x, y\) という2つの文字で表したとき、「\(x+y=5\)」という式が作れたとします。この \(x+y=5\) という方程式に\(x=1, y=4\) を代入すると、左辺は \(1+4\) つまり\(5\)となり、右辺と一致します。よって \(x=1, y=4\) はこの方程式の「解」となります。ところが、\(x=-\frac{1}{2}, y=\frac{11}{2}\)など、この方程式の解は他にも無数に存在します。ここで、さきほどの数量 \(x, y\) について「\(2x+3y=13\)」という式が作れたとします。この方程式の解もやはり無数に存在しますが、その解の1つである \(x=1, y=4\) は、さきほどの \(x+y=5\) の解でもあります。つまり、\(x=1, y=4\) は \(x+y=5, 2x+3y=13\) の2つの式を同時に成り立たせる値です。1つの方程式では値を1組に定められない場合も、2つの方程式を組み合わせて考えることで、1つに定めることができるようになります。このように、2つの方程式を「連立方程式」として組合せ、その2つの方程式を同時に成り立たせる「連立方程式の解」をどのように「解いて」求めるか、この導入部分も含めて授業動画でご覧ください。

・中学1年生で学んだ方程式は「1元1次方程式」といい、文字が1種類の1次方程式を扱いました。ここでは文字が2種類、つまり「2元1次方程式」の連立方程式の解き方について学んでいきます。文字が1種類の1次方程式は中学1年生で習っておりますから、2種類の文字のうちどちらか一方の文字を「消去」しどちらか1種類だけの式を作ることができれば解くことができます。そこで注目するのは、例えば \(x, y\) の連立方程式であれば \(x\) や \(y\)の前にかけてある数字、いわゆる「係数」です。2本の式において、例えば \(2x+y=3\) と \(2x-3y=-5\) のように「\(x\)の係数が同じ」であれば、2本の式を「ひき算」することで\(x\)を消去することができます。このとき、2本の式を左辺は左辺、右辺は右辺でひき算することで、新しい式を作ることができます。そこに作られた式は「\(y\)の1次方程式」です。連立方程式の解き方について、授業動画で学んでください。

・わからないものが2つあるとき、その2つの関係が明確であれば、片方を \(x\) とおくと、もう片方を \(x\) を使って表すことができます。例えば2種類のものの個数が「合計が10個」のとき、片方を \(x\) 個とおくともう片方は \((10-x)\)個と表すことができます。この場合は、中学1年生の1次方程式を使って問題を解くことができます。ところが、例えば「大人の入場料とこどもの入場料」のように、2つの数量に関係が見られないものは、片方を \(x\) とおいても、もう片方を \(x\) を使って表すことはできません。このようなときに、文字を2種類使い、2つの方程式をたて、それらを連立方程式として解くことで2つの数量を求めることができます。これらの違いについて、ぜひ授業動画で学んでください。

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連立方程式

連立方程式の利用

「1次関数」の勉強のコツ!

・中学の学習内容で、苦手な人が多いのがこの「関数」の分野です。中学で習う関数の基礎として、中学1年生では「比例と反比例」を学びましたが、これは小学校の「比例と反比例」をベースにしていました。中学2年生で習う「1次関数」は、このうちの「比例」をベースにしつつ、「値の変化」や「グラフ」に注目しながら学習を進めていきます。特にグラフを正確にかくだけでなく、必要に応じてグラフのおよその形(概形)をかく、グラフの傾き具合に注目する、グラフから式を求めるなど、この1次関数以降の関数においてグラフの利用頻度は徐々に高まっていきます。比例から、1次関数へ。少しずつ階段を上るように、関数を理解していける、そんな授業を動画で体験してください。

・比例の式の形は「\(y=ax\)」、そして1次関数の式の形は「\(y=ax+b\)」、つまり に比例する部分と、常にそれに加わる値(定数)の部分で構成されています。比例においては、その式の形からもわかるように、比例定数\(a\)は「\(x\)を\(a\)倍すると\(y\)になる」ということを表しています。ところが1次関数はこの定数\(b\)の影響で「\(x\)を\(a\)倍すると\(y\)になる」とはいえません。では、1次関数\(y=ax+b\)における\(a\)は何を表しているのでしょうか。例えば1次関数\(y=2x+5\)において、\(x\)の値が1から4まで「3増加した」とき、\(y\)は7から13まで「6増加した」状態です。このとき、\(y\)の増加量は\(x\)の増加量の「2倍」であることがわかります。\(x\)の増加量を変えてもつねに\(y\)の増加量は\(x\)の増加量の2倍であり、この2が\(y=2x+5\)の2です。つまり、1次関数\(y=ax+b\)の\(a\)は、\(x\)の増加量を\(a\)倍すると\(y\)の増加量になる、ということを表していて、この\(a\)の値を「変化の割合」といいます。変化の割合について、詳しくは授業動画をご覧ください。

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1次関数

1次関数と方程式

1次関数の利用

「平行と合同」の勉強のコツ!

・三角形や四角形といった図形のもつ性質については、小学校でその基礎を学びました。また中学1年生の「平面図形」では、「∠」を使った角の指定の方法や、同じ長さの辺(線分)や同じ大きさの角を「イコール」で表す方法、また平行や垂直の関係にあるものを記号「//」「⊥」を使って表す方法を学びました。これらの知識をもとに、「対頂角が等しい」、「平行と同位角」、「平行と錯角」、そして今後出てくる図形の様々な性質を「証明」するための「三角形の合同」について学んでいきます。その性質は、暗記に終わらずなぜその性質となるのかをふまえて理解していくことが、今後その性質を別の場面で使うときの「気づき」となります。ぜひ授業動画で体験してください。

・三角形の3つの角の和が\(180゜\)であることは小学校で学びました。ここではまずは四角形、五角形と角の個数を増やしていったとき、角の和が何度になるかを、三角形に分割することによって学びます。そしてそれが\(n\)角形となったとき、角度を\(n\)を用いて表す、いわゆる「一般化」を行います。この\(n\)角形の内角の和の公式「\(180゜×(n-2)\)」の「\(n-2\)」が何を表しているのかを学びながら同時に覚えていくことで、単なる暗記では不可能な「理解して覚える」といったことが可能となります。そのプロセスを動画で体験してください。

・この図形分野において、「証明」は苦手意識が強いと言われる学習項目です。ここでは、「ある2つの三角形が合同となるための条件」を理解し、それをもとに「三角形が合同→対応する辺の長さ(角の大きさが等しい)」といった典型的な問題を通じ、「仮定」から「結論」に至るまでのプロセスを学んでいきます。とくに「仮定」だけで合同が証明できることはほとんどなく、そこに「ある図形のもつ様々な性質」からいえることを組み合わせる必要があります。図形のもつ性質にいずれかの理解が不十分だと、証明ができない潜在的なリスクが高まります。証明ができない、という状態が

①証明のやり方・書き方がわからない
②証明に必要な図形の性質を覚えていない

のいずれかによって、全く学習方法を異なってきます。この分野を学ぶにあたって、①は学んでいくうちに解決されていきますが、②はそれまでの学びの振り返りとなります。よって②が心配であれば、中1までに学んだ図形的な性質を振り返っておくとよいでしょう。その上で、それをどのように記述していけばよいのかについて、ぜひ授業動画で体験してみてください。

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平行線と角

三角形の合同

「三角形と四角形」の勉強のコツ!

・この「三角形と四角形」では、中学2年生「平行と合同」を通じて学んだ図形の基本的な性質、および証明の基本的な書き方を通じて、「特別な三角形」「特別な四角形」のもつ性質を証明しながら一つ一つ確認し、その後の様々な図形の問題や証明を解決していくための重要な性質、いわゆる「定理」として覚えていきます。また、その図形に「なるための条件」を学ぶことで、その図形の性質や定理の理解をより深めていきます。そのプロセスのどれもが、今まで学習してきた、または今学習を進めている内容を復習し活用する練習を含んでいます。よって、性質や定理を丸暗記しても、それが使えるようにならないばかりか、その学習を通じて身につけるべき「論証力」が身につかず、その後の学習に大きな影響を与えます。性質や定理などを学ぶときは、それがなぜ成り立つのかについて、すべて自分で書けないまでも「そういうことね」といった理解を徐々に深めていくことが必要です。ぜひ動画で体験してみて下さい。

二等辺三角形、正三角形、そして直角三角形といった「特別な三角形」について、その図形だからこそ持つ重要な性質を学んでいきます。例えば「二等辺三角形」は、小学校のときに「2辺が等しい三角形」であり、「2つの角が等しい」ことを学びました。「2辺が等しい三角形」は、「二等辺三角形」がどんな三角形なのかを述べたもので、これを「定義」といいます。それに対し「2つの角が等しい」ことは、定義に従って「2辺が等しい三角形」を書いたとき、3つの角度のうち2つの大きさが等しくなることを「測る」などして確かめるといった手法がとられていました。ここでは「三角形の合同条件」を用いて、それがどんな二等辺三角形でも成り立つことを「証明」し、そして証明された性質のうち重要なもの(「定理」)として学びます。二等辺三角形の「定義」「定理」について正しく理解することが、後に二等辺三角形が出てきたときにそれを用いることができる土台を作ることとなります。ぜひ授業動画をご覧ください。

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三角形

四角形

「確率」の勉強のコツ!

・あることがらの「起こりやすさ」を「数値」で表したものを、そのことがらが起こる「確率」といいます。確率を計算で求めるためには、あることを行ったときに全部で何通りあるかを数え上げ、そのうち目的のことがらが何通りあるかを数え上げることで、相対度数として求めることができます。例えばさいころを1回投げたとき、その出目として起こりうるすべての場合は6通りであり、そのうち1が出る場合は1通りのみであるから、さいころを1回投げて1が出る確率は\(\frac{1}{6}\)と表すことができます。ただし、確率をこのように計算で出すためには、起こりうるすべての場合がどれも同じ頻度で出ると期待される、いわゆる「同様に確からしい」状態であることが条件です。この「同様に確からしい」ことの理解が確実に行われることが、その後出てくるあらゆる確率においてミスを防ぎ、理解を深めることにつながります。ぜひ動画で体験してみてください。

・あることがらの「起こりやすさ」については、中学1年生で習った「相対度数」を使って表すことができます。例えば「硬貨を投げて表が出る」ということがらの起こりやすさはについて、例えば10回投げて3回出たとすると\(\frac{3}{10}\)と表すことができます。この実験を何度も繰り返し行うことで、この相対度数はやがて\(\frac{1}{2}\)に近づいていきます。この\(\frac{1}{2}\)という値は、この硬貨の表と裏の出やすさが同じ場合には計算によって求めることができます。実験を繰り返さずに計算で確率が出ることで、様々な予測につながります。確率を計算で出す方法、そしてその時の注意点について、ぜひ動画で学んでください。

・大小2つのさいころを投げるとき、「ともに1が出る」ということがらと「1と2が出る」ということがらは、起こりやすさが異なります。例えば出目を(大きいさいころの出目、 小さいさいころの出目)と表すと、「ともに1が出る」ということがらは\((1, 1)\)のみですが、「1と2が出る」ということがらは\((1, 2)\)と\((2, 1)\)があります。この\((1, 2)\)と\((2, 1)\)を明確に区別する方法として、表や枝分かれをする図(「樹形図」)などがあります。確率を求めるときにミスを防ぐための書き方の工夫、ぜひ動画で学んでください。

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確率

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数学の本質理解のトレーナー

山内やまうち 恵介けいすけ

「数学の本質を指導する」をモットーに、様々なレベルの生徒を指導。上位を目指す生徒のみならず、数学が苦手な生徒に人気が高く、数多くの数学アレルギー者の蘇生に成功。緻密に計算された授業構成と熱意のある本気の授業で受講者の数学力を育てる。厳しい授業の先にある達成感・感動を毎年数多くの生徒が体験!

【主な著作物】
・『「カゲロウデイズ」で中学数学が面白いほどわかる本』(KADOKAWA)

担当授業:
中学1-3年生数学 基礎

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