山内 恵介

スタディサプリ数学講師

山内 恵介

中学生の
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数学中3 数学の勉強法

山内 恵介

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山内 恵介

中学3年生の数学は、小学校から中学2年生までに習った算数および数学をベースに、それぞれの分野の内容をさらに深めていく、まさに中学数学の集大成とも言える学習内容です。そして、中学2年生までに習ってきた内容が「わかっている」ことを前提に学校の授業は進んで行きます。

中学 数学の勉強法・定期テスト対策

例えば「相似な図形」においては、小学校6年生の「拡大図と縮図」、中学1年生の「平面図形」、2年生の「平行と合同」「三角形と四角形」で学習した図形の性質や「証明」を引き継ぎ、さらにその計算は小学6年生の「割合」や中学校1年生の「1次方程式(比例式)」を使って行います。それぞれの単元の問題が解ける、という力はもちろんですが、それらを「応用・活用」する力が問われますので、とくに中学1年生や2年生で習った内容の「正確な理解」が必要となってきます。

また、「平方根」においては、「2乗すると5になる数」といった、より抽象度が高い内容にも踏み込んでいきます。そのアプローチの結論として、「永遠に続く小数となり表しきれない」という結論に達するのですが、それを表す方法として紹介される「√(ルート)」という記号の理解に差が出てきます。この「表せないものを記号を使って表す」というのは、この平方根が初めてではありません。例えば小学校において「 \(2\div 3\) 」の結果を小数で表そうとすると「 \(0.666\cdots \cdots \) 」となり、その答えが書き終わることはありません。よって、「 \(2\div 3\) 」の答えを小数で出すといった問題は小学校では扱わず、その代わりに「分数」を使って「 \(\frac{2}{3}\) 」と表します。つまり「 \(\frac{3}{3}\) 」は「 \(2\div 3\) 」の計算結果を表した「特殊な形」と考えることができます(読み方も3「ぶんの」2という特別な読み方をします)。これと同じように、小数で表そうとすると表しきれないものを表す方法の1つが「√」という記号を使って表す方法です。ところが「わり算は逆数にしてかけ算にすればよい」ということを学んだ瞬間から、 \(2\div 3=2\times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\) というように「小数」を間に挟むことなく途中や計算結果に分数が「強引に」出てきてしまいます。

「答えを出す」という観点でいえば、逆数にしてかけ算という手法を「暗記」することは有効ではありますが、その分「小数で表せないものを表す表記方法」という概念が薄れてしまいます。つまり「暗記→反復練習」により「失われてしまう大切な考え方」が存在します。特に中学3年生の授業は、上記したようにそれまでの集大成です。√を使って表さざるを得ないという結論に至るまでのプロセスと、今までやってきたこととを記憶から呼び起こし、それらをつなげることで、新しい考え方を「納得」して受け入れ、活用することができる力につながっていきます。

特に中学1年生・2年生で習った問題の解き方を、「解き方の暗記」で乗り切った分野があれば、中学3年生でその分野に入る前にもう一度その部分を学びなおしておくとよいでしょう。中学3年生の数学は、その内容が「高校1年生」の学習に直結していきます。高校の数学では、解き方をまる暗記する、といったやり方は一切通用しません。中学3年生の数学の学習を通じて、今まで習ってきた知識をどのように引き出し、組合せ、活用していくかを学ぶ、といった視点を意識しながら学習を進め、さらに問題演習のときにそこで学んだことを意識して解いていくができるようになれば、数学の実力は飛躍的に上がって行きます。それが今までの学年の中で最も必要となるのが、この中学3年生の数学の学習です。「理解して解き進める」ことを常に意識して数学の学習を進めていってください。理解して解くと、自分のやっていることの「意味」がわかり、問題を解くのが楽しくなりますし、忘れにくくなりますよ。

「多項式」の勉強のコツ!

ここでは文字式の計算の集大成として、「展開」および「因数分解」を学んでいきます。「展開」は、文字を含む式の四則計算のまとめとして、さらに式の形の特徴に注目して使う「公式」を判断する練習として、非常に大事な分野です。そして「因数分解」は、「展開の逆」として、やはり式の形に注目して使う公式を判断していきます。この2つの分野の学習を通じて、ある式がどのような形をしているのかを注目し、臨機応変に解法を変えていくという、今後の数学の学習の基盤を形成します。単なる計算分野ではなく、状況判断力を磨く大切な分野ですので、例えば答えが出た後にあらためて問題文から途中計算、答えまでを見直し、問題文を見たときにどこに注目し、どのように解答まで至ったのかを自分の中に落とし込む習慣をつけておくとよいでしょう。

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単項式と多項式の乗法、除法/多項式の乗法

乗法公式

「因数分解」とは、例えば \({{x}^{2}}+4x+3\) のように「和の形」で表された多項式を、 \((x+1)(x+3)\) のように「因数」の「積の形」で表すことです。結果的に「展開の逆」となる問題が多いですが、因数分解は展開の逆、と暗記するのではなく、因数分解は「積」の形にすること、と覚えることが大切です。ちなみに、積の形で表したときのそれぞれのものが「因数」です。例えば \(ab\) は \(a\times b\) と表せるので、 \(a,\ \ b\) は \(ab\) の因数です。 \(ab\) は \(1\times ab\) と表せるので、 \(1,\ ab\) もまた \(ab\) の因数です。ある項を積の形に表す方法が1つではない、ということを経験することが、後の「たすきがけ」を学ぶときの納得感につながります。その上で、多項式を因数分解する上で、まずはそれぞれの項を「積の形」にしたとき、共通な「因数」がみつかることで、分配法則の考え方を用いて「共通因数」で「くくる」という解法に至ります。この考え方により、多項式 \({{x}^{2}}+2x\) について \({{x}^{2}}+2x=x\times x+2\times x\) と表すことができますので、2つの項 \({{x}^{2}},\ \ 2x\) に共通な因数「 \(x\) 」を用いて \(x(x+2)\) という形の式を作ることができます。この「積」で表された形を分配法則で開くことにより、元の式に戻すことができます。理解しながら学習を進める体験を、ぜひ動画で。

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因数分解の公式(1)

因数分解の公式(2)

「平方根」の勉強のコツ!

正方形の面積を出す公式は「1辺×1辺」です。これは「1辺の2乗」と表すことができます。ここで、面積が4㎝²とわかっている正方形の1辺の長さは、「2乗すると4になる数」を考えればよく、 \({{2}^{2}}=4\) より1辺の長さは2㎝であることがわかります。では、面積が5㎝²の正方形はどうでしょうか。 \({{2}^{2}}=4\) ですから、1辺の長さは2よりは大きいことがわかります。そして \({{3}^{2}}=9\) より、1辺の長さは3より小さいことがわかります。つまり1辺の長さは「2より大きく3より小さい数」であることがわかります。では小数第1位までの小数で絞り込んで行くと、 \({{2.2}^{2}}=4.84\) 、 \({{2.3}^{2}}=5.29\) ですから、「2.2より大きく2.3より小さい数」であることがわかります。このように絞りこんでいくと、2乗して5になる数は \(2.2360679\cdots \cdots \) と「永遠に続く小数」であることがわかいり、さらにその数字の並びには規則性がありません。「2乗すると5になる数」は確実にあるものの、永遠に続く小数ですから答えようがない、ということになります。この「2乗して5になる数」を表すために、「√(ルート)」という記号を使います。2乗して5になる数(のうち正のもの)を「 \(\sqrt{5}\) 」と表すのです。このように「2乗して \(a\) 」になる数を、「 \(a\) の平方根(平方根)」といいます。つまり、√という新しい記号が出てきた背景をしっかり理解することが、その後の平方根の学習を進める上で非常に大切となります。表すことができないものを、記号を使って表すというまったく新しい考え方を、ぜひ動画で学んでください。

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平方根

\(a,\ \ b\) が正であるとき、 \(\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}\) となります。例えば \(\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{2\times 3}=\sqrt{6}\) ですし、 \(\sqrt{6}=\sqrt{2\times 3}=\sqrt{2}\times \sqrt{3}\) と表されます。また、 \(\sqrt{{{a}^{2}}}=a\) であり、 \(\sqrt{4}=\sqrt{{{2}^{2}}}=2\) となります。これらを組み合わせると、 \(\sqrt{12}=\sqrt{{{2}^{2}}\times 3}=\sqrt{{{2}^{2}}}\times \sqrt{3}=2\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\) と表すことができます。つまり、ルートの中に2乗があると、ルートの外に出る、という感覚ですね。

では、 \(\sqrt{10}\times \sqrt{15}\) はどのように計算できるでしょうか。 \(\sqrt{10}\times \sqrt{15}=\sqrt{10\times 15}=\sqrt{150}\) です。そして、 \(150\)を「素因数分解」すると \(150=2\times 3\times {{5}^{2}}\) と表されます。よって \(\sqrt{150}=\sqrt{2\times 3\times {{5}^{2}}}=5\sqrt{6}\) となります。

ここで、 \(\sqrt{10}\times \sqrt{15}=\sqrt{2\times 5}\times \sqrt{3\times 5}=\sqrt{2\times 3\times {{5}^{2}}}\) です。よって、 \(10\times 15\)を計算して数字を大きくすることなく、 \(\sqrt{10}\times \sqrt{15}=5\sqrt{6}\) と出すことができます。このようにルートの計算は、基本的な考え方をしっかり理解し、工夫して計算していくことが、計算の制度を上げ、計算ミスを防ぐことなります。決してテクニックではなく、理解して解く。ぜひ動画で学んでください。

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平方根の乗法、除法(1)

平方根の乗法、除法(2)/平方根の近似値

「2次方程式」の勉強のコツ!

ある文字に値を入れると、成り立つときと成り立たないときがある等式を、「方程式」といいました。例えば方程式 \(x+1=4\) は、左辺の文字 \(x\) に \(3\) を入れて計算すると、右辺と同じ \(4\) となりますし、3以外の数字を入れると4になりません。このように方程式を成り立たせる値を、この方程式の「解」といいました。よって、方程式 \(x+1=4\) の解は \(x=3\) となります。

ここで、 \(x+1=4\) は、 \(x-3=0\) と変形できます。中学1年生のときに学習した「1次方程式」は、変形すると「(1次式) \(=0\) 」となります。これに対し、 \({{x}^{2}}-3x+4=0\) のように、変形すると「(2次式) \(=0\) 」の形になる方程式を、「2次方程式」といいます。

1次方程式は、等式の性質に基づいて変形を繰り返すことで、解を出すことができます。これは「連立方程式」も同様で、式を変形し、2つの式を加減することで、解を出すことができます。ところが2次方程式は、変形するだけでは解を導くことはできません。式の特徴をつかみ、その特徴に応じて式を変形し、変形した等式のもつ「意味」を、今まで習った様々な知識から考え、それを用いて解を出す必要があります。これまでの学習の集大成であり、今後の方程式や関数の鍵を握るこの2次方程式の考え方を、ぜひ動画で学んでください。

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2次方程式とその解/因数分解による解き方

2次方程式 \({{x}^{2}}=16\) の解を考えます。この式は、 \(x\) を「2乗すると16」となることを表しています。この「2乗すると16」になる数は、16の「平方根」であり、それは \(4\) と\(-4\) 、つまり \(\pm 4\) であることを「平方根」で学びました。よって、2次方程式 \({{x}^{2}}=16\) の解は \(x=\pm 4\) となります。つまり「 \({{\bigcirc }^{2}}=\) \(k\) 」の形の方程式は、「 \(\bigcirc\) が \(k\) の平方根」であることを利用して解くことができます。同様に、 \({{x}^{2}}=3\) の解は、平方根を表す記号「 \(\sqrt{{}}\) (ルート)」を用いて、 \(x=\pm \sqrt{3}\) と表されます。

2次方程式の一般的な形は \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) です。この式で \(b=0\)のときの式 \(a{{x}^{2}}+c=0\) を変形すると、先ほどの「 \({{\bigcirc }^{2}}=k\) 」の形にすることができ、平方根の考え方で解を導くことができます。また、 \(b=0\) ではないときも、 \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) の左辺を変形して、 \({{(x-\square )}^{2}}=k\) の形にすることで、同様に平方根の考え方を使って解くことができます。式の形から、平方根の考え方を用いて解くことができることに気づき、実際に解を出すことができるという体験を、ぜひ動画を通じて学んでください。

2次方程式 \({{x}^{2}}-4x+3=0\) の解について考えます。左辺を因数分解すると、 \((x-1)(x-3)=0\) となります。因数分解により、左辺は \(x-1\) と \(x-3\) の「積」の形となります。よって、この式は「 \(\text{A}\times \text{B}=0\) 」の形、つまり「2つの数の積が0」の形となっています。2つの数の積が0のときは、2つの数のうち少なくともどちらかが0、つまり「 \(\text{A}=0\) または \(\text{B}=0\) 」 となります。よって今回の式では「 \(x-1=0\) または \(x-3=0\) 」です。それぞれの式を計算すると「 \(x=1\) または\(x=3\) 」となります。この2つの値が、この式を成り立たせる値、つまり方程式の解となります。この解は「 \(x=1,\ \ x=3\) 」や「 \(x=1,\ \ 3\) 」のように「,(カンマ)」で区切って並べて表記します。ただ因数分解するだけでなく、なぜ因数分解すれば解けるのかを併せて覚えることで、他の問題に応用できる力が養われます。ぜひ動画で学んでみてください。

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2次方程式とその解/因数分解による解き方

平方根の考え方を使った解き方

「関数 \(y=a{{x}^{2}}\) 」の勉強のコツ!

中学で習う関数分野は、中学1年生の「比例と反比例」、2年生の「1次関数」、そして3年生の「関数 \(y=a{{x}^{2}}\) (2乗に比例する関数)」です。よって、関数 \(y=a{{x}^{2}}\) の理解には、それまでの比例や1次関数の理解が必要となります。さて、比例の式の形は「 \(y=ax\) 」でした。ここで扱う「関数 \(y=a{{x}^{2}}\) 」は、比例の式 \(y=ax\) の \(x\) が \({{x}^{2}}\) に置き換わったものであることがわかります。比例の式 \(y=ax\) における比例定数 \(a\) は「\(x\) を\(a\) 倍すると \(y\) になる」ということを表しています。そして、「関数 \(y=a{{x}^{2}}\) 」の \(a\) も、比例と同様に「比例定数」といい、「 \({{x}^{2}}\) を \(a\) 倍すると \(y\) になる」ということを表しています。 \(x\) の値を2乗してから \(a\) 倍しますので、比例とは値の変化の様子が異なります。例えば、 \(x\) の値が2倍、3倍、4倍になると、 \(y\) の値は4倍、9倍、16倍となります。こういった変化の様子を踏まえて、少しずつ「関数 \(y=a{{x}^{2}}\) (2乗に比例する関数)」の理解を深めていくとよいでしょう。ぜひ動画を体験してみてください。

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2乗に比例する関数 y=ax^2

1次関数 \(y=ax+b\) においては、 \(x\) に比例する部分 \(a\) の値を「変化の割合」といい、 \(x\) が1増加したときの \(y\) の増加量を表しています。1次関数のグラフを考えると、グラフは直線であり、 \(x\) が1増加したときの \(y\) の増加量は一定の値 \(a\) を取ります。この \(a\) の値を、直線の「傾き」といいます。つまり、1次関数の変化の割合は常に一定の値 \(a\) であり、1次関数の式やグラフの傾きがわかれば、変化の割合もわかります。例えば1次関数 \(y=2x-3\) において、変化の割合は一定値 \(2\) で、これがグラフの傾きとなります。

一方、関数 \(y=a{{x}^{2}}\) のグラフは「放物線」であり、変化の割合、つまり \(x\) が1増加したときの \(y$\) 増加量は一定ではありません。よって、変化の割合は計算で求める必要があります。例えば、関数 \(y=2{{x}^{2}}\) において、 \(x\) が \(-1\) から \(3\) まで増加したときの変化の割合を考えましょう。 \(x=-1\) のときの \(y\) の値は、 \(y=2\times {{(-1)}^{2}}=2\) です。また、 \(x=3\) のときの \(y\) の値は、 \(y=2\times {{3}^{2}}=18\) です。よって、 \(x\) が \(-1\) から \(3\) まで \(4\) 増加したとき、 \(y\) は2から18まで \(16\) 増加したことがわかります。変化の割合は、 \(x\) が1増加したときの \(y\) の増加量ですから、 \(y\) の増加量を \(x\) の増加量で割れば計算することができます。よって、求める変化の割合は \(\frac{16}{4}=12\) です。このように、関数 \(y=a{{x}^{2}}\) の変化の割合は、 \(x\) の増加量や \(y\) の増加量を計算することで求めることができます。変化の割合の定義の復習から、関数 \(y=a{{x}^{2}}\) の変化の割合の求め方まで、ぜひ動画で学んでいただければと思います。

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関数y=ax^2のグラフ

関数y=ax^2の変化の割合と平均の速さ

「相似な図形」の勉強のコツ!

中学2年生では、「合同」を通じて、重ね合わせることができる図形、特に合同な三角形について学びました。そこでは、「仮定」から「結論」に至るまでのプロセス、いわゆる「証明」について学びました。この「証明」については、苦手意識をもっている人も少なくないかと思いますが、与えられたことに、自分で見つけたことを組合せて、結論を導く経験は、自分の考え方を、その根拠とともにしっかり説明するよい練習となります。「相似な図形」を学習する前に、まずは「合同」の復習をしておくとよいでしょう。前の学年の内容の学習、ぜひ動画で体験してみて下さい。

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相似な図形とその性質

小学校では「拡大図と縮図」を習いました。形を変えずに一定の割合に拡大または縮小してできる図形と、もとの図形との関係を「相似」といいます。このときの一定の割合を「相似比」といいます。例えば「相似比が1:3」のとき、2つの図形の対応する辺の長さはすべて1:3となっています。相似比は辺の長さの比だけでなく、対応する部分の長さの比はすべてこの相似比になっています。例えば相似な三角形であれば、高さの比はこの相似比と等しくなります。2つの円であれば、半径の比は相似比と等しく、周の長さの比もこの相似比と等しくなります。このことを用いることで、相似な図形で対応する部分の比が1箇所でもわかれば、それを用いて他の部分の長さを求めることができます。相似を用いてある部分の長さを出す問題は頻出ですので練習を重ねておきましょう。また、このときに立てる式は、「 \(a:b=c:d\) 」という「比例式」(中1の「方程式」で学習)ですので、この部分の計算に不安がある人は、併せて学習しておくとよいでしょう。相似な図形を用いて長さを出す体験を、ぜひ動画で学んでみてください。

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相似な図形とその性質

相似な2つの三角形は、対応する辺の長さの比(「相似比」といいます)がすべて等しく、対応する角の大きさがすべて等しくなります。では、2つの三角形が相似になるためには、対応する3組の辺の比や3組の角の大きさがすべて等しいかを確かめる必要があるでしょうか。ここで、2つの三角形が合同となる条件、いわゆる三角形の「合同条件」を思い出してみましょう。三角形の合同条件は、

(1) 3組の辺がそれぞれ等しい
(2) 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
(3) 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

です。3つの合同条件のいずれも、対応する3組の辺と3組の角のすべてではなく、その一部が等しければ合同であることを示しています。相似となるための条件、いわゆる「相似条件」も同様で、対応する辺の比や角の大きさの一部が等しければ相似となります。この「相似条件」を、合同条件と比べながらしっかり覚え、証明に結びつけるための土台を作っていくプロセスを、ぜひ動画で体験してみてください。

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三角形の相似条件

「円」の勉強のコツ!

円とは何でしょうか?円は、ある点から等しい距離にある点の集まりであることを中学校一年生の「作図」で学んでいますし、コンパスはその等しい距離にある点を連続して書くためのツールです。さて、中心が点Oである円Oの円周上に2点A、Bをとります。円周の一部である弧ABと半径OA、OBで囲まれた図形を「おうぎ形」といい、∠AOBを弧ABに対する「中心角」といいます。さて、弧ABを除く円周上にもう1点Pをとり、∠APBを作ります。このときの∠APBを、弧ABに対する「円周角」といいます。同じ弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分となります。今の例では、 \(\angle \text{APB}=\frac{1}{2}\angle \text{AOB}\) となります。また、点Pを、弧ABを除く円周上のどこにとっても、円周角∠APBの大きさは一定となります。この「円周角」の大きさが一定で、中心角の半分になることは、単に角度を求めるために使うだけでなく、今後の証明の根拠となる非常に大切な定理です。まずはこの定理を導くところからスタートし、角度を求める円周を通じて同じ弧に対する円周角や中心角の大きさを求める問題を通じて、円の角度に対する意識を上げることが、円が絡む今後の学習のカギとなります。ぜひ動画で学んでみてください。

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円周角の定理

円周角の定理の逆 円周角と弧

円の内部に点Pをとり、点Pを通る直線をひき、円との2つの交点をA、Bとします。また、点Pを通る直線をもう1本ひき、円との2つの交点をC、Dとします。このとき、2つの三角形△ACPと△DBPを考えます。この2つの三角形には、一見等しい角度はありませんが、△ACP∽△DBPとなります。合同や相似においては、等しいと与えられているものだけでなく、これまでに習った図形の性質から等しいと導く必要がある問題が今後も数多く出てきます。「円周角の性質」を用いて2つの三角形が相似であることを証明するだけでなく、相似であることを利用して線分の長さを求めるところまでの一連の流れを、ぜひ動画を通じて体験してみてください。

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円と相似

「三平方の定理」の勉強のコツ!

3辺の長さが3、4、5の三角形は、直角三角形となります。直角三角形のうち、最も長い辺を「斜辺」といい、3辺の長さが3、4、5の三角形は、斜辺の長さが5の直角三角形です。この斜辺の長さを2乗すると、 \({{5}^{2}}=25\) となります。また、他の2辺の長さを2乗すると、それぞれ \({{3}^{2}}=9\) 、 \({{4}^{2}}=16\) となり、この2つの和は \(9+16=25\) となり、さきほどの斜辺の長さの2乗と等しくなります。一般的に、直角をはさむ2辺の長さを \(a,\ b\) 、斜辺の長さを \(c\) とすると、3辺 \(a,\ b,\ \ c\) には、 \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}\) の関係が成り立ちます。これを「三平方の定理」といいます。これを用いると、直角三角形において、2辺の長さがわかると、残りの1辺の長さを求めることができます。例えば、直角を挟む2辺の長さが \(2,\ \ 3\) の直角三角形の斜辺の長さについて、斜辺の長さを \(x\) とすると、「三平方の定理」により、 \({{2}^{2}}+{{3}^{2}}={{x}^{2}}\) という式を立てることができます。整理すると \({{x}^{2}}=13\) という「2次方程式」であることがわかり、この解は \(x=\pm \sqrt{13}\) です。長さは正ですから、 \(x>0\) です。よって、 \(x=\sqrt{13}\) のみとなります。よって、この直角三角形の斜辺の長さは \(\sqrt{13}\) となります。また、直角三角形において斜辺と他の1辺の長さがわかるときは、残りの1辺の長さをこの「三平方の定理」で求めることができます。逆に、三角形の3辺の長さが \(a,\ \ b,\ \ c\) である三角形において、 \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}\) の関係が成り立つとき、その三角形は長さ$c$の辺を斜辺とする直角三角形であることがわかります。相似や合同とともに、わからない部分の長さを求めることができる「三平方の定理」、ぜひ動画で学んでみてください。

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三平方の定理 三平方の定理の逆

三角定規は、2種類の直角三角形で、どちらも3つの内角の大きさが決まっています。1つが、3つの角が \(45{}^\circ ,\ \ 45{}^\circ ,\ \ 90{}^\circ\) の直角三角形で、もう1つが、3つの角が \(30{}^\circ ,\ \ 60{}^\circ ,\ \ 90{}^\circ\) の直角三角形です。3つの角が \(45{}^\circ ,\ \ 45{}^\circ ,\ \ 90{}^\circ\) の直角三角形は、正方形を対角線で分けたときの直角三角形です。例えば1辺の長さが1㎝の正方形を対角線で2つに分けてできる直角三角形の対角線の長さは、三平方の定理により \(\sqrt{2}\) ㎝となります。1辺の長さが1㎝の正方形を対角線の長さは \(2\sqrt{2}\) ㎝、1辺の長さが3㎝の正方形を対角線の長さは \(3\sqrt{2}\) ㎝です。ここでわかることは、「 \(45{}^\circ ,\ \ 45{}^\circ ,\ \ 90{}^\circ\) 」の直角三角形の辺の長さの比は、常に「 \(1:1:\sqrt{2}\) 」である、ということです。これを用いると、例えば \(45{}^\circ ,\ \ 45{}^\circ ,\ \ 90{}^\circ\) の直角三角形で、ある1辺の長さがわかると、残り2つの辺の長さがわかります。例えば、 \(45{}^\circ ,\ \ 45{}^\circ ,\ \ 90{}^\circ\) の直角三角形で、直角をはさむ辺のうちの1辺が \(5\) ㎝とわかれば、残りの辺の長さは \(5\) ㎝、 \(5\sqrt{2}\) ㎝ とわかる、ということです。つまり、直角三角形において、2つの辺の長さがわかれば残りの1辺の長さがわかる、という三平方の定理を基本としつつ、 \(45{}^\circ ,\ \ 45{}^\circ ,\ \ 90{}^\circ\) という特殊な直角三角形においては1辺の長さから残りの2辺を求めることができる、という体験を踏み、やがて演習で求められるようになる必要がある、ということです。ちなみに「 \(30{}^\circ ,\ \ 60{}^\circ ,\ \ 90{}^\circ\) 」の直角三角形の3辺の比は、常に「 \(1:2:\sqrt{3}\) 」です。単なる暗記ではなく、その仕組みを理解し、忘れない、使える知識として身につく、そういった経験を、ぜひ動画で行っていただければと思います。

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平面図形への利用

「標本調査」の勉強のコツ!

あることを調べるとき、その対象となるすべてのものを調べることができれば、最も正確なものができます。例えば、ある商品の品質調査を行うとき、商品をすべてチェックすればその割合を求めることができます。ところが、商品をチェックするということは、開封や解体作業が必要となり、それを行ってしまうと商品として売れなくなりますし、非常に多くの時間と費用がかかります。よって、製品の一部分を調べてその割合を考えることで、全体の割合を推測する、ということが行われます。このように、調査の対象となる集団のうち、一部分の集団を調査して、その結果から全体の傾向を推測する調査を「標本調査」といい、そのときに実際に調べた集団を「標本」、もとの集団全体を「母集団」といいます。一方、調査の対象となる集団をすべて調査することを「全数調査」といいます。身体測定など、個々の結果にすべて意味がある場合など、全数調査を行うべき調査もあります。身の回りの調査で、標本調査と全数調査のどちらが行われているかを、その理由とともに考えることが、今後に非常に役立ちます。この2つの調査について、ぜひ動画でじっくり学んでみてください。

「標本調査」の結果を用いて、母集団の傾向を推測する、ということを、実際の数値を使って学んでみましょう。例えば、袋の中にコインがたくさん入っていて、その個数を推測したいとします。中から10枚取り出し、その10枚に目印をつけ、元に戻します。袋の中を混ぜたあと、40枚取り出したところ、4枚のコインに印がついていたとします。このとき、この40枚のコインにおける、印がついているコインの割合は \(\frac{4}{40}=\frac{1}{10}\) です。この40枚のコインを取り出す直前の状態を考えます。このときの袋の中のコインを$x$枚とすると、この \(x\) 枚のコインうち \(\frac{1}{10}\) のコインに印がついていると考えることができます。実際に印がついているコインは \(10\) 枚ですから、 \(x\times \frac{1}{10}=10\) という式が成り立ちます。これを解くと、 \(x=100\) となり、袋の中に入っているコインはおよそ100枚と推測できます。実際には、標本として取り出す量の調整や、無作為に取り出せるようにするなど、工夫は必要ですが、全数調査をすることなく、調べたい量を標本調査の結果から推測することができます。標本調査で推測するという体験を、ぜひ動画で学んでみてください。

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標本調査とその利用

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数学

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山内やまうち 恵介けいすけ

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